RESUMEN:

El concepto de integral ocupa un lugar fundamental en el análisis matemático y su desarrollo ha estado marcado por la búsqueda de una definición cada vez más precisa. Esta ponencia presenta un recorrido histórico y matemático desde la formulación de la integral de Augustin-Louis Cauchy hasta la definición de Bernhard Riemann, con el propósito de mostrar cómo las ideas de ambos autores contribuyeron a establecer una base rigurosa para la integración. La metodología empleada consiste en una revisión documental y un análisis comparativo de las definiciones, propiedades y resultados desarrollados en los trabajos estudiados. Se examina inicialmente la propuesta de Cauchy, basada en sumas asociadas a particiones de un intervalo y en el proceso de refinamiento de dichas particiones. Posteriormente, se analiza la definición de Riemann, en la cual se permite una elección arbitraria de los puntos de muestra y se exige que las sumas converjan al mismo valor cuando la malla de la partición tiende a cero. El análisis muestra que ambas construcciones comparten la idea de aproximar la integral mediante sumas, pero que Riemann establece de manera más precisa la independencia del resultado respecto de la elección de los puntos de muestra. También se presentan ejemplos de funciones integrables y no integrables en el sentido de Riemann, entre ellos las funciones de Thomae y Dirichlet, que permiten observar los alcances y limitaciones de esta definición. Se concluye que la formulación de Cauchy constituye un antecedente fundamental para la integral moderna, mientras que Riemann desarrolla una definición más general y rigurosa que permite estudiar una clase más amplia de funciones y establece criterios claros para determinar su integrabilidad.

Palabras clave: integral de Cauchy, integral de Riemann, integrabilidad, particiones, análisis matemático.